平面

在空间中,到两点距离相同的点的轨迹。在解析几何中,平面公式为A*(x-x0)+B*(y-y0)+C*(z-z0)=0,其定义为与固定点(x0,y0,z0)的连线垂直于固定方向(A,B,C)的所有的点的集合。这两种定义在数学上是一致的。

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基本资料

在空间中,到两点距离相同的点的轨迹。在解析几何中,平面公式为A*(x-x0)+B*(y-y0)+C*(z-z0)=0,其定义为与固定点(x0,y0,z0)的连线垂直于固定方向(A,B,C)的所有的点的集合。这两种定义在数学上是一致的。 中文名称平面 外文名称plane 拼音:píng?miàn 定义:平面形象的无限延展

平面的画法

面的画法

  水平的平面可以画成一个平行四边形,锐角画成45°,平面钝角画成135°,横边是邻边的2倍。  具体画法可以根据题意,方便做题就可以

平面表示方法

  平面表示方法:  (1)用希腊字母α、β、γ写在一个角上。如平面α、平面β。  (2)用四个顶点的字母或者对角线的字母。如平面ABCD、平面AC。

平面与直线

  1、点A在平面α内,记作A∈α;点B不在平面α内,记作B不属于α。  2、点P在直线l上,记作P∈l;点P在直线l外,记作P不属于I。  3、如果直线l上的所有点都在平面α内,就说直线l在平面α内,或者平面α经过直线l,记作l?α,否则说直线l在平面α外,记作l不属于α。  4、平面α、β相交于直线l,记作α∩β=l。  5、直线a在平面α内 记作 a?α

公理

  公理一 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。  公理二 如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。  公理三 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。

推论

  推论一 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。  推论二 经过两条相交直线,有且只有一个平面。  推论三 经过两条平行直线,有且只有一个平面。

平面相交的判定

  如果两个平面有一个公共点,就说这两个平面相交。

线面平行的判定

  平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

平面平行的判定

   如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。   垂直于同一条直线的两个平面平行。

线面平行的性质

  一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线平行。

平面平行的性质

  如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。  如果一条直线在一个平面内,那么与此平面平行的平面与该直线平行。

线面垂直的判定

  一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。  如果一条直线垂直于一个平面,那么与这条直线平行的直线垂直于该平面。

平面垂直的判定

  一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

线面垂直的性质

  一 垂直于同一个平面的两条直线平行。  二 若直线垂直于平面,则直线垂直于这个平面的所有直线。  三平行于同一条直线的两条直线互相平行。

平面垂直的性质

  两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号表示

  (1)α∩β=A→α∩β=l,l?α  (2)l?α,l//m,m?α→l//α  (3)m?α,n?α,m∩n=O,m//β,n//β→α//β  (4)α⊥l,β⊥l→α//β  (5)l//α,l?β,α∩β=m→l//m  (6)α//β,α∩γ=l,β∩γ=m→l//m  (7)α//β,l?α→l//β  (8)l⊥m,l⊥n,m∩n=O,m?α,n?α→l⊥α  (9)m//n,α⊥m→n⊥α  (10)l?α,l⊥β→α⊥β  (11)α⊥m,α⊥n→m//n  (12)l⊥α,m?α→l⊥m  (13)α⊥β,α∩β=l,m⊥l,m?α→m⊥β

平面方程

平面

  在空间中,到两点距离相等的点的轨迹叫做平面。

平面方程

  根据定义,设动点为M(x,y,z),两点分别为(a,b,c)和(d,e,f)  则[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]^1/2=[(x-d)^2+(y-e)^2+(z-f)^2]^1/2  x^2-2ax+y^2-2by+z^2-2cz+(a^2+b^2+c^2)=x^2-2dx+y^2-2ey+z^2-2fz+(d^2+e^2+f^2)  (2d-2a)x+(2e-2b)y+(2f-2c)z+(a^2-d^2+b^2-e^2+c^2-f^2)=0  形式为ax+by+cz+d=0

平面的法向量

  取平面内三点:A(0,0,-d/c)B(1,1,-(d+b+a)/c)C(0,2,-(d+2b)/c) AC=(0,2,-2b/c)AB=(1,1,-(a+b)/c) 设向量n:(x,y,c)为平面的法向量,则 2y-2b=0 x+y-(a+b)=0 -y=b x=a 则n=(a,b,c)为平面的一个法向量。

有关平面的关系

直线平面

  设直线方程为x=kz+b,y=lz+a,平面方程为cx+dy+ez+f=0,p=k+l+e,q=a+b+f  属于:p=0,q=0  平行:p=0,q≠0  相交:p≠0  垂直:c/k=l/d=e

平面平面

  设平面a的方程为ax+by+cz+d=0平面b的方程为a1x+b1y+c1z+d1=0  ((|a||+|b|+|c|+|d|)^2(|a1+|b1+|c1|+|d1|)^20)  相交:不平行也不重合  平行:a/a1=b/b1=c/c1≠d/d1  重合:a/a1=b/b1=c/c1=d/d1  垂直:aa1+bb1+cc1+dd1=0

有关平面的关系(7)

空间的角

  设平面e、f的法向量为c、d 直线m的方向向量为a (把直线z=kx+b,z=ly+a的方向向量(k,l,1)代入,  把平面ax+by+cz+d=0的法向量(a,b,c)代入  直线和平面所成的角:  设b为m和e所成的角,则b=π/2±a,c。sinb=|cosa,c|=|a*c|/|a||c|  二面角:当双法向量的朝向一致时,平面e、f的法向量为c、d  设二面角e-e∩f-f为a,那么a=π-c,d=π-|c*d|/|c||d|  当双法向量的朝向不一致时,平面e、f的法向量为c、d  设二面角e-e∩f-f为a,那么a=c,d=|c*d|/|c||d|

空间距离的求解

  点到平面的距离:设PA为平面的一条斜线,O是P点在a内的射影,PA和a所成的角为b,n为a的法向量。  易得:|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cosPA,n|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|  直线到平面的距离为在直线上一点到平面的距离;  平面到平面的距离为在平面上一点到平面的距离;  点到直线的距离:A∈l,O是P点在l上的射影,PA和l所成的角为b,s为l的方向向量。  易得:|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sinPA,s|=|(PA|^2|s|^2|-|PA*s|^2)^1/2/|s|

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