直线

数学中的直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的。

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基本资料

数学中的直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的。 中文名称直线 外文名称straight line 分类:几何

基本定义

  直线(Straight line)是几何学基本概念,是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。或者定义为:曲率最小的曲线(以无限长为半径的圆弧)。
从平面解析几何的角度来看,平面上的直线就是由 ?直线
平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。
求两条直线的交点,只需把这两个二元一次方程联立求解,当这个联立方程组无解时,二直线平行;有无穷多解时,二直线重合;只有一解时,二直线相交于一点。常用直线与 X 轴正向的夹角( 叫直线的倾斜角)或该角的正切(称直线的斜率)来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直,也可计算它们的交角。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标,称为直线在该坐标轴上的截距。直线在平面上的位置,由它的斜率和一个截距完全确定。
在空间,两个平面相交时,交线为一条直线。因此,在空间直角坐标系中,用两个表示平面的三元一次方程联立,作为它们相交所得直线的方程。
空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示,该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置, 由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。在欧几里得几何学中,直线只是一个直观的几何对象。在建立欧几里得几何学的公理体系时,直线与点、平面等都是不加定义的,它们之间的关系则由所给公理刻画。
在非欧几何中直线指连接两点间最短的线,又称短程线。
方向向量:截取直线l上两点A(l,n,0)和B(k+l,m+n,1)方向向量为:AB=(k,m,1)

直线性质

  直线是轴对称图形[1]。它有无数条对称轴,其中一条是它本身,还有任意一条与它垂直的直线。
因为在直线的任意一点作它的垂线,直线可以看作被分成两条方向相反的射线,将一条射线沿这条垂线折叠,这两条射线就重合了。所以说,直线有无数条对称轴。

直线特点

  没有端点,可以向两端无限延长,长度无法度量。

直线方程

平面方程

  1、一般式:适用于所有直线
Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0)
2、点斜式:知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在,则直线可表示为
y-y0=k(x-x0)
当k不存在时,直线可表示为
x=x0
3、斜截式:在y轴上截距为b(即过(0,b)),斜率为k的直线
由点斜式可得斜截式y=kx+b
与点斜式一样,也需要考虑K存不存在
4、截距式:不适用于和任意坐标轴垂直的直线
知道直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为
bx+ay-ab=0
特别地,当ab均不为0时,斜截式可写为x/a+y/b=1
5、两点式:过(x1,y1)(x2,y2)的直线
(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)(斜率k需存在)
6、法线式
Xcosθ+ysinθ-p=0
其中p为原点到直线的距离,θ为法线与X轴正方向的夹角
7、点方向式 (X-X0)/U=(Y-Y0)/V
(U,V不等于0,即点方向式不能表示与坐标平行的式子)
8、点法向式
a(X-X0)+b(y-y0)=0

空间方程

  1、一般式
ax+bz+c=0,dy+ez+fc=0
2、点向式:
设直线方向向量为(u,v,w ),经过点( x0,y0,z0)
(X-X0)/u=(Y-Y0)/v=(x-x0)/w
3、x0y式
x=kz+b,y=lz+b

直线公理

  在平面上过两点有且只有一条直线,即两点确定一条直线。
而在球面上,过两点可以做无数条直线。

有关直线

  设平面e的法向量为c 直线m、n的方向向量为a、b
把平面ax+by+cz+d=0的法向量为(a,b,c);直线x=kz+b,y=lz+a的方向向量为(k,l,1)代入即可
则直线所成的角:m,n所成的角为a。
cosa=cosa,b=|a*b|/|a||b|
直线和平面所成的角: 设b为m和e所成的角,则b=π/2±a,c。sinb=|cosa,c|=|a*c|/|a||c|
平面两直线所成的角:设K(l1)=k1,K(l2)=k2(k1k2≠-1)tanl1,l2=(k1-k2)/(1+k1k2)

距离

  异面直线的距离:l1、l2为异面直线,l1,l2公垂直线的方向向量为n,C、D为l1、l2上任意一点,l1到l2的距离为|AB|=|CD*n|/|n|
点到平面的距离:设PA为平面的一条斜线,O是P点在a内的射影,PA和a所成的角为b,n为a的法向量。
易得:|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cosPA,n|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|
直线到平面的距离为在直线上一点到平面的距离;
点到直线的距离:A∈l,O是P点在l上的射影,PA和l所成的角为b,s为l的方向向量。
易得:|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sinPA,s|=|(PA|^2|s|^2|-|PA*s|^2)^1/2/|s|
平面内:直线ax+by+c=0到M(m,n)的距离为|am+bn+c|/(a^2+b^2)^1/2
平行直线:l1ax+by+c=0,l2ax+by+d=0l1到l2的距离为|c-d|/(a^2+b^2)^1/2
备注 :
直线是曲线的暂短停留。

相关位置关系

直线直线

  平面几何:平行和相交
在同一平面的两条直线之间,有平行、相交(包括垂直)、重合三种位置关系。
设直角坐标平面上两条直线的方程分别为:
L1:a1X+b1Y+c1=0
L2:a2X+b2Y+c2=0
当a1/a2≠b1/b2 则两直线相交
当a1/a2=b1/b2≠c1/c2 则两直线平行
当a1/a2=b1/b2=c1/c3 则两直线重合
当a1a2+b1b2=0 则两直线垂直
空间几何:异面,平行和相交
l1:x=kz+b,y=lz+a l2:x=k1z+b1,l1z+a1=y
相交:有公共点
平行:k1/k=l1/l
异面:无公共点且k1/k≠l1/l
垂直:k*k1+l*l1=-1

直线和平面

  设直线方程为x=kz+b,y=lz+a,平面方程为cx+dy+ez+f=0,p=k+l+e,q=a+b+f  属于:p=0,q=0  平行:p=0,q≠0  相交:p≠0

一次函数

  一次函数y=kx+b(x∈R,k∈R,b∈R,y∈R)的图象是一条直线,其与y轴交于(0,b),与x轴交于(-b/k,0)
仰角(与x轴正半轴的交角θ∈(0,π))满足
(1)当θ∈(0,π/2)时,θ=arctan k
(2)当θ∈(π/2,π)时,θ=π + arctan k

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